(attenzione, post letterario-matematico-delirante)

Il regalo più insolito di questo natale è stato un e-ring. Una mia amica mi ha inviato attraverso i meccanismi del bookcrossing un racconto, chiedendone una piccola recensione. Se volete partecipare anche voi, ricevendo alla vostra e-mail il PDF del racconto, documentatevi a questo indirizzo: http://www.bookcrossing.com/journal/6193741.

Si tratta de “La biblioteca di Babele”, un racconto breve di Jorge Luis Borges che descrive una gigantesca biblioteca, opera probabilmente di una divinità, che contiene tutti i libri che è possibile scrivere in 410 pagine, di 40 righe di 40 lettere ciascuna. All’interno di questa biblioteca pochi sparuti esseri umani cercano febbrilmente in questi volumi la Verità, o qualsiasi altre rivelazione.

In appena qualche manciata di paragrafi, Borges accenna a moltissime implicazioni sulla natura filosofica di questa ricerca, e sulle insidie del linguaggio e del meta-linguaggio. Per ciascun argomento di cui parla un libro, infatti, esiste (almeno) una copia che ne esprime opinioni opposte, opinioni solo leggermente differenti, o versioni di altre realtà, di altre lingue, di altri linguaggi, o di tutte queste cose sovrapposte, o persino espresse in forme criptate, o scritte al contrario. Un racconto degno di essere citato (se non lo è già) nell’opera di Hofstadter “Gödel, Escher, Bach“.

E’ una lettura incredibilmente stimolante, esattamente il tipo di speculazione mentale che piace a me. Se avete voglia di speculare mentalmente e se avrete la costanza di proseguire con il post cliccando su “continua…”, vi renderò partecipi dei miei ragionamenti e vi racconterò come sono arrivato autonomamente ad una versione più attuale dell’idea di Borges già ai tempi delle scuole superiori.

Prima ancora di occuparci dei libri, proviamo a capire come possa essere fatta questa ipotetica biblioteca, in base alla descrizione che ne viene fatta nel racconto stesso:

“L’universo (che altri chiama la Biblioteca) si compone d’un numero indefinito, e forse infinito, di gallerie esagonali, con vasti pozzi di ventilazione nel mezzo, orlati di basse ringhiere. Da qualsiasi esagono si vedono i piani superiori e inferiori, interminabilmente. La distribuzione degli oggetti nelle gallerie è invariabile. Venticinque vasti scaffali, in ragione di cinque per lato, coprono tutti i lati meno uno; la loro altezza, che è quella stessa di ciascun piano, non supera di molto quella d’una biblioteca normale. Il lato libero dà su un angusto corridoio che porta a un’altra galleria, identica alla prima e a tutte. A destra e a sinistra del corridoio vi sono due gabinetti minuscoli. Uno permette di dormire in piedi; l’altro di soddisfare le necessità fecali. Di qui passa la scala spirale, che s’inabissa e s’innalza nel remoto. Nel corridoio è uno specchio, che fedelmente duplica le apparenze. […] Gli idealisti argomentano che le sale esagonali sono una forma necessaria dello spazio assoluto o, per lo meno, della nostra intuizione dello spazio. Ragionano che è inconcepibile una sala triangolare o pentagonale.”

L’ultima frase mi ha lasciato perplesso, perchè un esagono altro non è che una composizione di 6 triangoli equilateri,  per cui se la biblioteca può esistere in forma esagonale, può esistere per forza in forma triangolare. Ma un altro piccolo non identificato tarlo è rimasto nella mente per tutta la successiva lettura del racconto,  fino a farmi prendere in mano carta e penna per cercare di disegnare una mappa di queste stanze.  Secondo i grassetti che ho riportato nella citazione più sopra, ciascuna stanza può essere collegata esclusivamente a una sola altra stanza!

Nel disegno, i buchi neri al centro degli esagoni sono i pozzi di ventilazione; le due stanze sono collegate dal corridoio, con al centro la scala a chiocciola che consente di spostarsi su altri piani. Ai lati del corridoio, le due “stanzine”. Le dimensioni della “galleria” centrale , del pozzo e lo spessore delle pareti sono arbitrarie. Gli scaffali sono omessi per semplicità (rimane, ininfluente per il resto del discorso, il dilemma dello specchio. L’unica solizione che ho trovato è che entrambe le pareti del corridoio siano occupate dallo specchio, riflettendo così infinite scaleed inifiniti “scorci” delle stanze adiacenti).

Si avrebbe così una spece di torre infinita, in cui ciascun piano contiene solo due stanze, mentre in altri punti si decrive la biblioteca come un volume omogeneo di stanze. Potrebbero esserci innumerevoli “torri” affiancate, ma l’assunto implicito è che è che sia possibile per un bibliotecario visitare qualsiasi altra sala, per cui il modello non funziona.

Andando a cercare il testo originale in spagnolo ed in inglese i miei dubbi sono confermati: si tratta di un errore di traduzione. Il testo corretto sarebbe:

“L’universo (che altri chiama la Biblioteca) si compone d’un numero indefinito, e forse infinito, di gallerie esagonali, con vasti pozzi di ventilazione nel mezzo, orlati di basse ringhiere. Da qualsiasi esagono si vedono i piani superiori e inferiori, interminabilmente. La distribuzione degli oggetti nelle gallerie è invariabile. Venti ripiani, cinque per ciascuna parete, coprono tutti i lati tranne due; l’altezza degli scaffali (da cinque ripiani ciascuno, ndT),  che è quella stessa di ciascun piano, non supera di molto quella d’una normale libreria. Ciascuno dei lati liberi dà su un angusto corridoio che porta a un’altra galleria, identica alla prima e a tutte. A destra e a sinistra del corridoio vi sono due gabinetti minuscoli. Uno permette di dormire in piedi; l’altro di soddisfare le necessità fecali. Di qui passa la scala spirale, che s’inabissa e s’innalza nel remoto. Nel corridoio è uno specchio, che fedelmente duplica le apparenze.”

Probabilmente non è una traduzione letterale, ma ha una sua coerenza logico-matematica. Secondo questa mia interpretazione, è possibile immaginare, invece che una “torre” monodimensionale (benchè formata da due stanze), un piano bidimensionale di infinita lunghezza (attraversabile con i corridoi) e di infiniti piani (collegati dalle scale):

Abbiamo aggiunto una dimensione, ed affiancando infiniti di questi piani (o “fette” verticali) si potrebbe creare un volume infinito:

Voilà. Abbiamo anche risparmiato sui mattoni, condividendo le pareti. Ma come sarebbe possibile passare da una “fetta” ad un’altra, rispettando i vincoli? In una biblioteca fatta in questo modo sarebbe possibile muoversi a est a ovest, in alto o in basso, ma mai da nord a sud.

Dato che in genere qualsiasi cosa io possa arrivare ad immaginare esiste già nella memoria di Google, ho provato a fare una ricerca di disegni della Biblioteca, ma non ho trovato nulla che mi soddisfacesse, o che corrispondesse dettagliatamente alle descrizioni (es. qui, qui e qui).

La prima soluzione che viene in mente è di sovrapporre i piani facendo in modo che i corridoi di un livello siano orientati diversamente rispetto a quelli del livello inferiore. Per passare da un corridoio all’altro occorrerebbe uscire salire (o scendere) di un piano, attraversare una sala, e poi tornare al livello precedente. Vediamo un po come funzionerebbe, sovrapponendo un piano “verde” a uno “rosso”.

Uhm…. no, così non funziona! Sebbene le stanze e i pozzi rimangano allineate verticalmente, le scale a chiocciola non si sovrappongono! I vari corridoi sono perfettamente intersecati fra di loro, ma non si incontrano mai!

Ho provato qualche altra soluzione altrenativa, ma nessuna mi sodisfa. E’ possibile pensare che anche le stanze con le scale siano esagonali e che abbiano la stessa dimensione delle stanze di lettura, ma non funziona, provateci col disegno qua sotto; se provate ad andare da una stanza al piano superiore dello stesso stesso pozzo di ventilazione… non potete. Ed inoltre non sarebbe una occupazione dello spazio molto efficace:

Prima di proseguire, se vi va, leggete il testo originale e provate  a trovare la VOSTRA soluzione.

Una soluzione fattibile comporterebbe corridoi e stanzini a base quadrata:

Ed in effetti funziona: le scale sono sovrapposte, e i pozzi di ventilazione  sono allineati senza interferire con le sale dei piani sottostanti. Da ciascun pozzo sarebbe possibile vedere i piani superiori e inferiori, anche se non quelli immediatamente superiori e inferiori, ma un piano si e un piano no.

Per un po ho pensato che fosse l’unica soluzione possibile, ma non mi piace: la forma a esagono, in questa configurazione, è inutile, e un sacco di posto fra una sala e l’altra rimarrebbe inutilizzato. A questo punto, perchè non ripiegare su ben più comode stanze quadrate?

Ma dopo un po di ragionamenti e di misurazioni, sono arrivato ad una soluzione diversa: immaginiamo un piano della biblioteca simile alla terza figura, ma con muri più sottili e distanziati. Per comodità li raffiguro monodimensionali, ma il ragionamento fila anche con muri larghi qualche decina di cm:

Attenzione: lo spazio fra una linea verde e l’altra NON è muro, ma spazio vuoto. Ora supponiamo che il piano superiore sia uguale, ma ruotato di 60° (rappresentato in rosso):

Ecco fatto! Le scale coincidono, e partendo da una stanza si possono raggiungere tutte le altre. La forma esagonale è rispettata, e la densità delle stanze è maggiore (credo) della soluzione “quadrata”. Ma perchè fermarsi qui, quando abbiamo a disposizione un ulteriore asse di simmetria? Aggiungiamo un altro piano, ruotato sempre di 60° ma in direzione opposta:

Non abbiamo aggiunto libertà di movimento o densità (anzi, ora fra un piano e l’altro dello stesso colore, guardando per il pozzo di ventilazione, ci sono DUE piani vuoti), ma abbiamo una piena simmetria e ridondanza della Biblioteca, a suggerire ancora di più il senso dell’inifinita sapienza.

Cercando meglio ho trovato un disegno dell’artista Philippe Fassier, basato sull’idea di labirinto (le scale sono omesse, ma dovrebbero essere a metà dei corridoi):

Devo ammettere che la sua soluzione (distanza fra le stanze a parte, nel disegno è esagerata per permettere la prospettiva) è decisamente migliore, anche se non conserva assi di simmetria, per quanto riguarda la disposizione dei corridoi. Avevo la fortissima sensazione di aver perso circa tre ore della mia vita scrivendo questo post fino a qui  🙁 , fino a quando ho notato che i collegamenti fra le stanze sembrano abbastanza casuali:

In questo modo, non c’è garanzia che TUTTI gli esagoni di un piano siano collegati (credo). La soluzione più corretta sarebbe stata quella di utilizzare una Curva di Peano a base esagonale, per ottenere una disposizione di questo tipo:

che ben si presta ad ingrandirsi all’infinito:

Dopo aver disquisito della biblioteca, passiamo ai libri. Secondo il testo, ciascun libro consta di 410 pagine da 40 righe di 40 caratteri ciascuno: potete trovare un generatore di pagine sul sito di Daniele Raffo. Altro errore di traduzione: nella versione inglese o spagnola, i caratteri per riga sono 80!!!

I caratteri tipografifci esistenti sono 25 e, come spiega la nota a piè di pagina, consistono nelle 22 lettere dell’alfabeto più spazio, virgola e punto. Il numero 25 ricorre nel testo spagnolo ed inglese. A questo punto però non vedo però come possa esistere la sequenza riportata nel testo “AXAXAXAS MLÖ”: ammettendo che le 21 lettere siano quelle italiane, con in più la lettera X, la lettera “Ö” da dove salta fuori? Di quale alfabeto stiamo parlando?

Comunque: i possibili volumi della libreria, fatta salva l’opzione che sia infinita e che quindi esistano molte copie dello stesso libro, sono composti da 40x80x410 “lettere” con 25 possibili valori, ovvero 25 elevato alla 1.312.000. Esiste un matematico che mi può dire gentilmente di quante cifre è composto un numero simile?

Su un forum, qualcuno ha fatto il calcolo basandosi sulle 40 lettere per riga (e quindi un numero MOLTO, MA MOLTO, MA MOLTO inferiore di combinazioni) ed è arrivato a dire (mi fido) che:

il numero di libri si puo’ calcolare.
ogni libro ha 410 pagine ogni pagina 40 righe, ogni riga 40 lettere.
dunque ogni libro ha 656000 lettere. ogni lettera ha 25 diversi valori
possibili, dunque in totale ci sono 25^656000 libri che e’ un numero con
917049 cifre.

Si tratta di un numero davvero spropositato! Secondo Yahoo Answers  il numero stimato di atomi nell’universo è “solamente” di circa 4 * 10^79, ovvero un 4 seguito da 79 zeri.

Uno dei numeri più grandi con un nome, il Googol, è 10 ^ 100, e in confronto rimane un numero insignificante (rimane il fatto che questo numero è all’origine del nome “Google”, pare per un banale errore di spelling di Larry Page, uno dei fondatori). Non riesco per miei limiti mentali a confrontare il numero dei possibili volumi con il Numero di Graham o con il Megistone.

Ebbene, una sera con il mio amico Massimo (“Dona”) cominciammo a parlare, inconsapevoli di Borges, di un’idea estremamente simile.

Partimmo dal fatto che un floppy disc di allora, formattato, contenesse 720 Kbytes, ovvero 737280 bytes, o lettere. Con una stima veramente grossolana (non mi ricordo i calcoli che facemmo allora) e sicuramente per difetto, possiamo stimare che 37mila e rotti bytes siano necessari per una corretta formattazione e gestione della directory del disco, per cui rimangono 700.000 “caratteri”.  A differenza dei libri, però, l’alfabeto non è composto da 25 lettere, ma da 256! Il numero complessivo di dischetti  esistenti  e leggibili da un PC (IBM-compatibile) quindi, è di 256^700.000 , una dimensione che farebbe impallidire qualsiasi biblioteca divina immaginata da Borges!

Cominciammo a immaginare di vendere i dischi formattati in questo modo al posto dei dischi vergini, a qualche centinaio di lire (sic!) in più. Prima di essere utilizzati, il contenuto di questi dischetti poteva essere letto dall’acquirente, che poteva trovare ogni possibile ben di Dio! Il numero ci avrebbe garantito di poter conitunare il business a tempo indefinto.

Mi ricordo nettamente una serie di cose che elencammo come possibili contenuti del dischetto:

• La biografia della nostra vita, descritta per filo e per segno, presente, passata e futura. In formato TXT, o in .doc, o wordstar, o qualsiasi editor di testi mai concepito.
• Il racconto di noi che parliamo di come sia possibile immaginare di creare dei floppy disc basati su ogni possibile combinazione di bit, all’interno del quale c’è un racconto di noi che parliamo di come sia possibile immaginare…
• Un’accurata descrizione dell’universo per ogni possibile valore delle costanti cosmologiche
• Un’accurata descrizione dell’universo per ogni possibile valore delle costanti cosmologiche, con un piccolo errore di calcolo che sbalina tutti i risultati
• la bibbia in dialetto napoletano, scritta a palindromo.
• La spiegazione di tutti i più grandi misteri della storia.
• La versione di quel documento che stavi scrivendo e che hai perso perchè è andata via la luce e non avevi salvato.
• I promessi sposi porno
• la saga dell’epopea di Giglamesh, in cui alla fine arriva Batman e uccide tutti
• un file TXT che contiene La Domanda alla risposta sulla vita, l’universo e tutto quanto, ma con estensione .jpg per cui chi guarda il floppy vede che l’immmagine non si legge e formatta il disco.

Ma ovviamente su un dischetto possono esistere anche file diversi da quelli di testo! per cui:

• Un programma per genrare dischetti in tutte le combinazioni possibili
• Un programma che genera dischetti  in tutte le combinazioni possibili, ma che arrivato al dischetto 12,676768087634^103569 si inlooppa.
• Un programma che genera dischetti  in tutte le combinazioni possibili, ma che arrivato al dischetto 18,7865778^267889 genera un floppy con un programma che genera dischetti  in tutte le combinazioni possibili, ma che arrivato al dischetto 12,676768087634^103569 si inlooppa.
• una GIF animata che racconta a fumetti quello che stai pensando in questo momento
• Un programma che restituisce in sequenza i risultati di un tavolo della Roulette di Montecarlo per i prossimi 30 milioni di lanci
• La foto di me da vecchio abbracciato a Elvis e Marylin Monroe
• La posizione in coordinate terrestri di tutti i tesori nascosti sulla terra
• Svariate copie di dettagliate istruzioni su come costruire il teletrasporto, solo che la stragrande maggioranza di queste copie contiene un errore e pone fine all’esistenza dell’universo (o perlomeno del teletrasportato)

Per non parlare, poi, del fatto che potessero esistere archivi compressi (in zip, ma anche in RAR, LZH, arc…) con versioni MOLTO più lunghe o dettagliate di tutte le cose elencate sopra, o programmi che generano file compressi..

Credo andammo avanti per ORE in questo modo.

Volendo attualizzare la pensata alle tecnlogie odierne, si potrebbe pensare di vendere dei Blu Ray con una raccolta di questi file da 600.000 Bytes. Contando che la capacità di un disco sia di 50 Gb (e ammettendo che siano Gigabyte da 1000 e non Gibibyte da 1024), si possono far stare  (50 * 10^9) / 700.000  >= 71000 “floppy” sullo stesso disco, più che sufficenti per passarsi una serata. Se volessimo invece vendere ogni possibile blu ray (potreste vedere la storia della votsra vita fra le 15:28 e le 17:28 del 12 luglio del 2029, in HD, dal punto di vista di un’altro, e con la telecamera ruotata di 90°, magari con un particolare effetto seppia), avremmo circa

256^50.000.000.000

possibili combinazioni!!! Molte delle quali, fra l’altro, conterrebbero l’intero scibile dei libri possibili nella biblioteca di Babele 🙂

Voi cosa pensate sarebbe possibile trovare in uno di questi dischi?